1. 初中数学小论文，现代教材怎么表述公理的？

欧几里得的《几何原本》大约成书于公元前三世纪左右，它是用公理建立起演绎体系的最早典范。两千多年来，它一直是人们学习演绎推理的权威教材。为了使平面几何内容使教师易教和学生易学，遵循学生的认知规律，初中数学教材对《几何原本》中的公理体系进行了教学处理，给出了一个弱化的公理体系，让学生感受公理化思想。《几何原本》中的公理体系与初中数学教材中的公理体系是不完全相同的。

《几何原本》分为13卷，共465个命题，涉及平面几何、立体几何及数论等领域。第1卷给出了23条定义、5条公设和5条公理，这些定义、公设和公理就是《几何原本》中的公理体系证明的出发点。

5条公设：

（1）由任意一点到另外任意一点可以画直线。

（2）一条有限直线可以继续延长。

（3）以任意点为心及任意的距离可以画圆。

（4）凡直角都彼此相等。

（5）同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二直角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧相交。（与平行公理等价）

显然第5公设与其他公设不同，它的行文较长，远不是那种不证自明的真理。有证据表明，欧几里得本人在《几何原本》第1卷的演绎证明中一直尽力避免应用这一平行公设，在前28个命题的证明过程中，他对其他公设都运用自如，而唯独一直没有使用第5公设。

5条公理：

（1）等于同量的量彼此相等。

（2）等量加等量，其和仍相等。

（3）等量减等量，其差仍相等。

（4）彼此能重合的物体是全等的。

（5）整体大于部分。

公设是针对几何的，公理更具一般性，不仅仅针对几何。长期以来，人们认为公理4具有几何特征，应归入公设的范围。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》列出了9条基本事实作为初中数学教材中的公理体系证明的出发点（如下表）。之所以称“基本事实”，而不称公理，其原因在于9条基本事实中大部分都是《几何原本》中的公理体系的定理；而且这9条基本事实也不具有公理体系所应具有的独立性、相容性和完备性。《几何原本》中的公理体系与初中数学教材中的公理体系证明的出发点如下表所示。

如S.S.S，初中数学教材把它作为基本事实，而《几何原本》把它作为定理。为了证明该定理，欧几里得采用了下列方法。

要证明三边对应相等的△ABC和△A′B′C′全等，只需证明两个三角形能完全重合，即只需把某一对应边，例如BC和B′C′重叠，证明A与A′重合即可。如图1所示，A与A′的情况只有下列4种情况：

（1）A和A′不包含在另一三角形中。

（2）A和A′之一在另一三角形内部。

（3）A和A′之一在另一三角形边上。

（4）A和A′重合。

图1

对于情况1，如图2，连结A 和A′。因为△ABA′是等腰三角形，所以底角相等，即∠BAA′=∠BA′A。

由图2可知∠CAA′＜∠BAA′＝∠BA′A＜∠CA′A，即∠CAA′＜∠CA′A。由于CA=CA′，

所以∠CAA′=∠CA′A。于是矛盾，因此情况1不成立。

图2

对于情况2，如图3，分别延长BA、BA′至D、E。因为BA=BA′，所以∠BAA′=∠BA′A，所以∠DAA′=∠EA′A。

由图3可知∠CAA′＜∠DAA′＝∠EA′A＜∠CA′A，即∠CAA′＜∠CA′A。

由于CA=CA′，所以∠CAA′=∠CA′A。于是矛盾，因此情况2不成立。

图3

对于情况3，显然不成立。综上，只有情况4成立，即A和A′重合。

在欧几里得之后约500年（3世纪），一个叫费洛的几何学家通过把两个三角形如图4放置，连结AA′，利用“等边对等角”得出∠BAC=∠BA′C，再利用S.A.S（S.A.S是第1卷的第4个命题，S.S.S是第1卷的第8个命题）证明△ABC≌△A′B′C′。

图4

初中数学教材作为基本事实的三角形全等的三条判定定理S.A.S、A.S.A、S.S.S，在《几何原本》中都是定理，其中，S.A.S是第1卷的第4个命题，S.S.S是第1卷的第8个命题，A.S.A是第1卷的第26个命题。

在上述欧几里得证明S.S.S的方法中，他用到“等边对等角”这一等腰三角形的性质。在《几何原本》中，“等边对等角”是第1卷的第5个命题，排在作为第1卷第8个命题的S.S.S的前面，因此，欧几里得用“等边对等角”证明S.S.S是无可厚非的。这与初中数学教材的安排刚好相反，初中数学教材是在给出三角形全等的三条判定定理S.A.S、A.S.A、S.S.S后，用三角形全等的判定证明“等边对等角”的（参见华东师大版初中数学教材八年级上册第79页）。

由于在《几何原本》中S.A.S是第1卷的第4个命题，而“等边对等角”是第1卷的第5个命题，因此欧几里得运用S.A.S对“等边对等角”给出的证明如下：

已知：如图5，在△ABC中，AB=AC。

求证：∠B=∠C。

图5

证明思路：如图6，在BD任取一点F，在AE上截取AG=AF，连结FC、GB。先运用A.S.A证明△AFC≌△AGB，得出∠ABG=∠ACF；再运用A.S.A证明△BCG≌△CBF，得出∠CBG=∠BCF。最后根据“等量减等量其差相等”得出∠ABC=∠ACB。

图6

在欧几里得之后约500年（3世纪），一个叫巴伯斯的人仅仅利用图5，通过运用S.A.S证明△ABC≌△ACB，非常简洁地得出了∠B=∠C。

由于欧几里得的证明复杂、难懂，这一定理以“笨人过不去的桥”著称。之所以有此说法，一是因为欧几里得的图形有点像座桥；二是因为许多对几何知识了解不深的学生都难于理解这一定理的证明，也就是无法跨过这座桥，进入《几何原本》的其他部分的学习。

通过《几何原本》和初中数学教材对这一定理的不同证明，我们感受到：如果初中数学教材严格按照《几何原本》的公理体系呈现，对初中学生的学习显然会带来很大困难。因此，《义务教育数学课程标准（2011年版）》对平面几何内容的处理是适当的，既遵循了数学的发展规律，又遵循了教育和初中生认知发展的规律。

在教材编写的风格上，问题更是严重，回顾历史，18-19世纪是数学蓬勃发展的阶段，那时的分析和代数教材演绎、归纳并重，教材编写遵循从特殊到一般、从具体到抽象的认识规律，使初学者首先从直观上认识数学内容的背景，然后上升到理性认识，

但是近几十年来，特别是19世纪末到20世纪初，数学发展到所谓理性主义阶段，写书强调综合统一、严格化、演绎法在数学中取得支配地位，最后，数学教材只反映演绎而无归纳了，近半个世纪以来，由于公理化的影响，尤其是现代形式主义的影响，公理化主义、纯形式主义反映到数学中来，数学被逐步描述为公理化系统，应该承认，公理化思想是数学发展的一大进步，把数学知识整理成公理化系统，使其更有条理、更严密，是很有必要的，

作为教材，只持形式主义观点固然可以训练人的逻辑思维能力、却难以培养学生灵活的创造、发明能力，应该演绎、归纳并重.

已故数学教育家徐利治教授发出，落后3个世纪的数学教材，中国数学的未来究竟在何方的感慨！现在数学教育的教材内容陈旧，教学方法古板，教学观点偏于形式主义和机械，这是从宏观的观点说的，国外也如此，许多数学工作者认为，总的说来，现在初中、高中教材基本上是16-17世纪的产物，大学教材是18-19世纪的东西，大学生直到做毕业论文时才接触20世纪的文献，教材编写数十年如一日，没有什么变化.

例如，我国高校现行微积分等教材基本上沿袭20世纪50年代向苏联学习时的那套传统，虽经几次改写，还是三十四年前的东西，只是组织得更有条理、更严格、更形式化一些而已，但至今我们都没有接触流形的观点，美国近20年来都开设“流形上的微积分”课，国外工程师都会运用这种流形分析工具，其实流形的观点并不困难，而且用流形观点讲微积分反而简化某些概念使其便于应用，我国近几年开始注意这个问题，先后翻译和出版了基本关于流形上的微积分方面的著作，上述固步自封的局面适应不了当代数学发展的需要，现在数学教育已经到了非革新不可的阶段，

参考文献：

李文革，《几何原本》与初中数学教材中的公理体系

2. 中小学副高职称评审答辩情况怎么写？

主要从个人情况、个人的突出成果或成就、教学成果、科研成果等四个方面来写，中小学注重的是教学，带过班主任的老师可以从所带班级的学生所获得成果来写，个人的教学成果比如说参加教学比赛，或教学改革，教学课题等；科研成果主要从科学研究，中小学教学等方面来写。

3. 用人教版七年级上册数学书的内容写两篇数学小论文？

答：数学小论文一

关于“0”

0，可以说是人类最早接触的数了。我们祖先开始只认识没有和有，其中的没有便是0了，那么0是不是没有呢？记得小学里老师曾经说过“任何数减去它本身即等于0，0就表示没有数量。”这样说显然是不正确的。我们都知道，温度计上的0摄氏度表示水的冰点（即一个标准大气压下的冰水混合物的温度），其中的0便是水的固态和液态的区分点。而且在汉字里，0作为零表示的意思就更多了，如：1）零碎；小数目的。2）不够一定单位的数量……至此，我们知道了“没有数量是0，但0不仅仅表示没有数量，还表示固态和液态水的区分点等等。”

“任何数除以0即为没有意义。”这是小学至中学老师仍在说的一句关于0的“定论”，当时的除法（小学时）就是将一份分成若干份，求每份有多少。一个整体无法分成0份，即“没有意义”。后来我才了解到a/0中的0可以表示以零为极限的变量（一个变量在变化过程中其绝对值永远小于任意小的已定正数），应等于无穷大（一个变量在变化过程中其绝对值永远大于任意大的已定正数）。从中得到关于0的又一个定理“以零为极限的变量，叫做无穷小”。

“105、203房间、2003年”中，虽都有0的出现，粗“看”差不多；彼此意思却不同。105、2003年中的0指数的空位，不可删去。203房间中的0是分隔“楼（2）”与“房门号（3）”的（即表示二楼八号房），可删去。0还表示……

爱因斯坦曾说：“要探究一个人或者一切生物存在的意义和目的，宏观上看来，我始终认为是荒唐的。”我想研究一切“存在”的数字，不如先了解0这个“不存在”的数，不至于成为爱因斯坦说的“荒唐”的人。作为一个中学生，我的能力毕竟是有限的，对0的认识还不够透彻，今后望（包括行动）能在“知识的海洋”中发现“我的新大陆”。

数学小论文二

各门科学的数学化

数学究竟是什么呢？我们说，数学是研究现实世界空间形式和数量关系的一门科学．它在现代生活和现代生产中的应用非常广泛，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具．

同其他科学一样，数学有着它的过去、现在和未来．我们认识它的过去，就是为了了解它的现在和未来．近代数学的发展异常迅速，近30多年来，数学新的理论已经超过了18、19世纪的理论的总和．预计未来的数学成就每“翻一番”要不了10年．所以在认识了数学的过去以后，大致领略一下数学的现在和未来，是很有好处的．

现代数

4. 怎样上好试卷讲评课？

讲评课是英语教学的一种重要课型，其根本目的是纠正错误、分析得失。但是，在当前的英语讲评课教学中普遍存在机械地采用逐题对答案、改正错误、就题论题、面面俱到的问题。 常见讲评课的几种基本形式 教师以书面的形式贴在教室的墙上或在课堂黑板公布试卷答案就完了，甚至有时让学生把答案念完就了事。

这种只公布答案而不讲评的形式，使相当一部分学生对一些选择题、句型转换题、改错题、综合题等根本无法知道为什么是这个答案，更谈不上练习的巩固、强化，能力的提高。 一些教师从试卷的第一题开始，一讲到底，题题不放过，这样讲一套试卷往往要花上三四课时才能讲完。

这样浪费学生有限的时间，学生容易产生厌烦心理，而且收益甚微。 有经验的老师根据试卷测试情况，有所侧重。对多数学生做对的试题不讲，错误较多的试题重点评讲。这种做法虽比前两种好，但仍然是教师讲、学生听，形式单一，就题论题。学生的收获只会解一道题，不能通一类题，未能很好地体现学生的主体性和能动性及教师的主导作用。

学生需要什么样的讲评课 我们曾在初三学生中采用问卷、座谈或个别询问等方式进行调查，归纳如下： “我们在英语讲评课上最想了解到的是各分数段的人数和试卷中存在的主要问题，以便确定自己在班中的位次和答题中的主要失误所在。但不希望公布自己的具体分数和在班上的排名。

”可见，英语讲评课上虽然教师不应公布每个同学的分数，但应做好成绩统计和试卷分析。在讲评课开始向学生简要介绍各分数段的人数和答卷中存在的主要问题是必要的“我们在英语讲评课上收获不大的最主要原因是有些教师不分轻重，面面俱到，把学生当三岁的小孩看待。

”可见，英语讲评课绝不能面面俱到，眉毛胡子一把抓，教师要清楚地了解到学生中存在的最突出、最主要和最想知道的是什么问题？应有针对性和侧重性地在英语讲评课上进行解疑纠错和扬优补缺。 “老师经常斥责我们‘这个问题都讲过好几遍了，为什么又错了。再笨这个问题也应该会。

如果我再讲十几遍，你还是做不来。’”可见，英语讲评课应特别重视“想不到”问题的处理，要克服“一听就会，一做就错”的局面，使学生真正理解和掌握，就应当精讲，让学生多自悟和讨论，坚决杜绝“就题论题”、“头痛医头”的做法。 “对一个较难的问题，我们最希望的形式是教师把问题摆出来，让我们自己独立思考或通过同学间的相互讨论而获得解决好。

因为这样做印象会更深刻，不易忘记。”可见，英语讲评课应以学生为主体，应将学生自行发现问题、自行讨论分析、自行纠错、自行归纳总结、自行解决问题这条主线贯穿讲评课的始终，教师要多一点“启发式”教育，少一点“告诉”教育。 “教师应当围绕我们在试卷中所出现的一些问题再出一些变式练习，以便我们及时巩固。

只有这样，讲评课才能让我们收到很好的效果。”可见，英语讲评课上就有关问题研讨处理之后，教师要针对该题所涉及的有关知识内容、技巧、技能、方法、思想，多角度、全方位地精心编制一些变式练习，使学生从各个角度来加深对该问题的理解和掌握，要给学生进一步实践、总结和反思的机会。

英语讲评课教学的反思与对策 英语测试是英语教学过程中特别是毕业年级一项经常性工作。笔者认为，要上好英语讲评课，提高评讲的教学效果，应采取以下措施。 讲评及时准确，分析错例及原因。测验是学生独立思考最强的实践。测试后应做到及时反馈，及时讲评。

然而，讲评效果的好坏取决于反馈信息的准确与否。笔者认为，讲评课不可能从头到尾，面面俱到，而应该是有所选择，有所侧重。教师在每次阅卷后，讲评前都要认真检查每位学生的答题情况，分析各题的错误率，细致诊断学生的解答，找出错误的症结，弄清哪些题目错得较多，错在哪里，学生需要何种帮助，等等。

这样，习题讲评课建立在学生强烈求知欲望上，建立在学生思维遇到阻碍的基础上，集中了学生易错处和典型错例的分析，就能激发学生的思维，加深印象，从而提高课堂效果。 注重学生心理，分析思路和规律。在讲评课堂的教学过程中，表扬激励应贯穿于整个讲评始终，从试卷中捕捉每位学生的闪光点，从而调动学生学习英语的兴趣、情感等积极因素，激发勤奋好学的愿望。

同时，教师必须由重视基础知识转移到综合能力的训练上来。教师练习中不能简单的对答案或订正错误，而要指导学生进行考点分析，即思考试题在考查什么知识点，这些知识点在理解和运用时有哪些注意点，该题是怎么考的，解题的突破口在哪里，什么又是最佳解题途径。

这样才能培养学生的辨别分析能力。教师在讲评时要将严谨、富有逻辑性的解题规范清晰地展现在学生面前。 狠抓典型试题、总结发散和变化。在试卷讲评前，教师应把试题逐一分析，并对试题进行恰当地分类，即课堂上讲评、分析的题目必须有所选择，遵循典型性原则。

一是选择与本单元的基础知识、基本技能和教学方法有直接关系的题。二是选择学生卷面上独到见解的题，选择出错较多的题等来进行讲评。 另一方面，面对中、高考，知识点是相对稳定的，而命题人可以变化题意、角度，在题设条件、问题的设问方式上推陈出新。关键是要培养学生善于分析和应变的能力。

所以每道题按原题讲完之后，教师要把原题进行变化，同学生一起进行解题后的小节与反思。即对某知识点从多个侧面、多个角度进行合理发散。常见的有情景、迁移、应用、图像、综合等几种发散形式。既可以对原题的提问方式进行改变，对原题的结论进行衍生和扩展。由一般到特殊或由特殊到一般；也可把习题的因果关系倒置；还可以把几条题目、几个过程进行组合等。

这种方式立足于基础、不刻意求难，注重渐进、合理性，学生感到别开生面，解题的积极性就能调动起来，思维就被拓展起来。 充分发挥自主，注重反思和总结。教师要积极创造条件，为学生搭建交流的舞台，倡导自主、合作和探究的学习方式。要给学生表述思维过程的机会，增加教师与学生、学生与学生讨论问题的时间，允许学生对试题“评价”做出“反评价”。

5. 初中数学学生小论文？

数学小论文

关于“0”

0，可以说是人类最早接触的数了。我们祖先开始只认识没有和有，其中的没有便是0了，那么0是不是没有呢？记得小学里老师曾经说过“任何数减去它本身即等于0，0就表示没有数量。”这样说显然是不正确的。我们都知道，温度计上的0摄氏度表示水的冰点（即一个标准大气压下的冰水混合物的温度），其中的0便是水的固态和液态的区分点。而且在汉字里，0作为零表示的意思就更多了，如：1）零碎；小数目的。2）不够一定单位的数量……至此，我们知道了“没有数量是0，但0不仅仅表示没有数量，还表示固态和液态水的区分点等等。”

“任何数除以0即为没有意义。”这是小学至中学老师仍在说的一句关于0的“定论”，当时的除法（小学时）就是将一份分成若干份，求每份有多少。一个整体无法分成0份，即“没有意义”。后来我才了解到a/0中的0可以表示以零为极限的变量（一个变量在变化过程中其绝对值永远小于任意小的已定正数），应等于无穷大（一个变量在变化过程中其绝对值永远大于任意大的已定正数）。从中得到关于0的又一个定理“以零为极限的变量，叫做无穷小”。

“105、203房间、2003年”中，虽都有0的出现，粗“看”差不多；彼此意思却不同。105、2003年中的0指数的空位，不可删去。203房间中的0是分隔“楼（2）”与“房门号（3）”的（即表示二楼八号房），可删去。0还表示……

爱因斯坦曾说：“要探究一个人或者一切生物存在的意义和目的，宏观上看来，我始终认为是荒唐的。”我想研究一切“存在”的数字，不如先了解0这个“不存在”的数，不至于成为爱因斯坦说的“荒唐”的人。作为一个中学生，我的能力毕竟是有限的，对0的认识还不够透彻，今后望（包括行动）能在“知识的海洋”中发现“我的新大陆”。

6. 教师副高职称答辩评委常问的问题？

常问的问题总结有如下:

1. 您的主要研究领域是什么？

2. 您的教育教学理念是什么，您是如何体现这些理念的？

3. 您在教学实践中遇到了哪些问题，您是如何解决这些问题的？

4. 您的教学成果有哪些，是否获得了相关的奖项或认证？

5. 您的学术成果包括哪些研究文章或著作，是否在相关学术刊物发表过论文？

6. 您如何应对教育教学改革带来的挑战？

7. 您与同事、学生之间的关系是怎样的，是否有得到他们的认可和支持？

8. 您有没有为学校、社会做出过贡献，包括服务于教育机构、行业社团、公益活动等方面？

9. 您个人的发展规划和愿景是什么，如何理解并落实新时代教育发展的要求？

10. 如果评价您的教学能力，请您举一些您的特点或亮点。